唔 作者是36届物竞应届生 此文难度是面向高中竞赛党 希望我写的有高中基础就可以看懂 目的是锻炼文笔(?)和给自己留一份记忆(笔记) 由于作者四大和普物奇烂(挑能看懂的看的hhh) 所以在作者摆原理的时候难免出错 到时还望各位大佬海涵(求指出 我会进行修改的quq)
会借用一些网上的ppt 侵删
好 那么开始正题
在说电像法之前我们得说一下唯一性定理
这玩意可以说是静电学的巨佬级定理 也是电像法可以用的一个依据
但我并不会给出什么证明过程 并且我会保证在我的文章范围内不会出现奇怪的不满足此定理的情况
先来简述一下什么是唯一性定理
大概意思就是在给定一些条件的情况下 只有一个解满足这些条件
所以下面静电学的任务就变成了猜解 这就是所谓的贝(背)多芬(分)定理(大雾)
咳 说回电像法 为什么说电像法会抱这位巨佬的大腿呢(废话抱巨佬大腿是咸鱼基操啊) 因为电像是导体 电介质啊什么的作为边界(边界简单来说就是指空间被划分成了各个部分的交界面) 给出的条件就是表面等势啊电势连续啊这一类条件 它们合在一起确保了唯一性定理的适用
那下面说说电像法是干嘛的
对某区域内只有一个或几个点电荷(或线电荷)、区域边界或交界面为导体或电介质的某些特殊情形，用假想的“像电荷”代替实际存在于界面处的感应电荷或极化电荷，利用“像电荷”得到问题解的方法。
好 上面一段话实际上对解题并没有什么意义 我们直接举一个经典的例子
求x≥0空间的电位、场强及平面导体上的电荷分布
提示:静电感应，场由q及σ共同产生
下面给出老老实实拉普拉斯方程的解法
哦对 还要说一下拉普拉斯方程 所谓拉普拉斯方程就是把这个方程列出来 条件写好 求解出这个方程就得到你想要知道电场的信息了(所以真的是贝多芬 背解万岁233)
可以显然看出 此时解的形式就像在无限大导体板的左侧放了一个-q所得到的 导体板上的分布电荷σ和q所决定的电场可以简单的被一个-q和q想加得到
(作者作者 你这不是违反了唯一性定理吗 给定了条件 这一面板的分布电荷不就被这一个什么像点荷代替了吗 自相矛盾你个民科)
(噗 吐血) 这位童鞋不要走鸭 你看图上不是有个x≥0嘛 会出现这种情况是因为这个像点荷它真的只是很“像”解 可以显然观察出此像点荷只能决定导体板右侧空间的电势电场分布 并不能决定左侧空间的电势和电场 换而言之 像点荷是有作用范围的 在后面总结模型里这个性质会更加的凸显出来 但那就不知道什么时候的二更了2333(挖巨坑ing)
既然已经说了一条性质那再来说第二条
众所周知两个点电荷之间的电势能是kq1q2/r 也就是q1固定不动把q2从无穷远(零势能位置)拉到距离q1距离为r的位置时需要做的功 那么我们老老实实写力积分看看这个体系的电势能是多少呢
答案是1/2·kq1q2/r 变成了一半 这个性质对其他边界一样适用 怎么理解呢 当我移动所有电荷时能量自然是不用乘1/2的 但导体是等势的 感应电荷的移动并不会造成能量的变化 所以有一个1/2的因子 这里还有一个要注意的事就是当导体如果本身带有净电荷时 计算导体外这部分电荷和外部电荷的作用时是不能乘1/2的(一个典例参考程电练习1-66 我就不放截图了)
好 那么迎来最后一个性质 我们还是用一个例子引入它
这是一个经典的反复横跳……呸 反复“成像”的问题 在对像点荷的求解时我们发现像电荷是无穷的 但级数求和是收敛的(也有不收敛的 参考程电例题1-9或练习1-44 同样不放截图了) 这里我们给出“成像”的规律
a.当一个像电荷作用于其作用区域时 此被作用区域内仍存在一可以“成像”的边界时 像荷就像一个实际电荷一样会对此边界继续“成像”
b.对于一个边界 属于它的像电荷是所“成像”的总和 计算这个边界和实际电荷的相互作用也自然需要考虑全部的属于这个边界的像点荷(还是参考程电的例题1-9)
当导体计算导体壳内部电场时 实际上由于静电屏蔽 外部的电荷分布不会影响内部电场 有兴趣的小伙伴不妨思考一下这可以构成怎样有趣的体系
那么本文到此结束 我们来总结一下
1当空间存在某一类特殊边界时 我们可以用像点荷和被“成像”电荷来计算一些区域的电场
2计算上述体系能量时要注意有无1/2
3像电荷不是最终产物 像电荷仍可以“成像”
4属于边界的像点荷是所有的像点荷的总和 和外界的相互作用需全部考虑
5“成像”并不是光学意义上的“成像”(虽然知网有一篇文写了球面电像和球面镜成像之间的联系 但我没细看 并直觉觉得不能推广233)所以这里“成像”全部打了引号
最后 我来挖个大坑 这个系列后面的文章是各种电像的总结 球面柱面椭球面介质交面角域还有他们的组合点电荷线电荷电偶极子之类的都会有 模型取自大题典自国培难集题选试题选程电什么的(以上书籍作者都没怎么刷过 只能上去捡模型的样子/大哭)
那我们下期再见咯(保守估计是高考完才能见了233)
